Analisi del rischio di portafogli replica con l’utilizzo della modellistica GARCH.
Il lavoro si propone come un semplice aiuto a tutti coloro che vogliono attuare strategie di Asset Allocation passiva, ovvero una più attenta e completa gestione passiva di portafogli azionari che replicano un Benchmark di riferimento. La linea che seguiremo per attuare tali valutazioni sarà quella di costruire due portafogli replica, attraverso l’utilizzo del Tracking Error; valutare la loro rischiosità, in un primo momento con la classica teoria descritta dall’approccio della “Moderna Teoria di Portafoglio”, successivamente utilizzando la modellistica GARCH. Infine, confrontare le Performance di entrambi i portafogli, evidenziando quali sono i possibili benefici derivanti dall’applicazione di tali modelli GARCH per la valutazione della volatilità.
Gli strumenti che utilizzeremo per l’analisi sono:
TRACKING ERROR.
Tale strumento, molto utilizzato negli ultimi tempi dai gestori e dalle SGR per la costruzione di portafogli di fondi azionari, si colloca direttamente nella gestione passiva. In maniera più adeguata esso viene definito come Errore di Replica; cioè l’errore che si commette nel replicare la Performance dell’indice preso come riferimento. L’obiettivo fondamentale che si deve raggiungere applicando tale strumento è quello della sua MINIMIZZAZIONE, in modo tale che il portafoglio considerato abbia un rendimento e di conseguenza un grado di rischio pari a quello del Benchmark che viene con esso replicato. In termini analitici la formula del Tracking Error non presenta grandi difficoltà, può essere sintetizzata in tal modo:
Dove:
MO = indica il numero di giorni di mercato aperto, che corrispondono a 260gg.
T = numero di osservazioni in gg.
Pt = rendimenti del portafoglio da replicare.
Bt = rendimenti del Benchmark di riferimento.
MODELLISTICA GARCH.
La modellistica G.A.R.C.H, strumento innovativo nell’ambito finanziario, ottimo per approfondire l’analisi della volatilità di serie storiche finanziarie da un punto di vista delle componenti ETEROSCHEDASTICHE della VARIANZA. Nello sviluppo di un modello G.A.R.C.H(1,1) (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) dobbiamo considerare due distinte specificazioni:
L’equazione della MEDIA CONDIZIONATA.
L’equazione della VARIANZA CONDIZIONATA.
In formulae il GARCH(1,1) è dato da:
(1)
(2)
L’equazione della MEDIA (1) è scritta come funzione di variabili esogene più un termine di errore. Mentre l’equazione specificata in (2) è quella della VARIANZA CONDIZIONATA, questa è funzione di tre variabili:
La MEDIA:
Le NEWS di mercato, riferite al periodo passato, misurate come LAG del termine di errore al quadrato dall’equazione della MEDIA: (termine ARCH)
La VARIANZA del periodo precedente: (termine GARCH)
Un modello ARCH(1) è un caso speciale del GARCH(1,1), nel quale non è presente la componente nell’equazione della VARIANZA CONDIZIONATA.
Definiti in maniera molto sintetica tali strumenti che verranno utilizzati per il lavoro, apprestiamoci a costruire i due portafogli replica del MIB30, con l’aiuto del Tracking Error.
I Dati che utilizzeremo per la stima riguardano la serie storica dei prezzi di chiusura dell’indice MIB30 e dei trenta titoli che lo compongono nel periodo di tempo che parte dal 23/11/1998, per arrivare al 30/11/2000.
SERIE STORICA PREZZI MIB30 PERIODO STIMA (23/11/1998-30/11/2000)
I due portafogli dovranno presentare tali caratteristiche comuni:
Essere composti da 4 titoli.
I 4 titoli dovranno appartenere ai 4 settori dell’indice: Energetico, Bancario, Assicurativo, Telefonico.
La composizione dei due portafogli sarà così definita:
PORTFOLIO1 PORTFOLIO 2
AEM
PIRELLI
MEDIOBANCA
S.PAOLO-IMI
MEDIOLANUM
RAS-ASS.
TELECOM ITALIA
TELECOM ITALIA MOBILE
Determinati i quattro titoli che comporranno i due portafogli, andiamo ad utilizzare il Tracking Error per replicare il Benchmark di riferimento. Tuttociò con l’aiuto di un foglio di calcolo Excel.
Calcoliamo il Tracking Error per il portafoglio denominato d’ora in poi PORTFOLIO1:
Il Portfolio1 quindi, replica in maniera migliore possibile il Benchmark di riferimento minimizzando il Tracking Error fino a 21,68. Inoltre con tale metodo e grazie all’aiuto del RISOLUTORE di Excel è possibile determinare i pesi ottimali che ognuno dei titoli deve mantenere all’interno del portafoglio, (poiché in un primo momento si parte dall’ipotesi che ognuno dei titoli abbia lo stesso peso all’interno del portafoglio, nel nostro caso ognuno dei quattro titoli aveva un peso di 0,25 sul totale).
Lo stesso procedimento viene compiuto anche per il secondo dei due portafogli, che abbiamo denominato PORTFOLIO2. Il suo Tracking Error e i pesi dei titoli che lo compongono risultano essere i seguenti:
Dalla schermata il Portfolio2 presenta un Tracking Error minimizzato, sempre con l’aiuto del risolutore, pari a 21,71118.
Con l’ausilio di tale tecnica siamo quindi riusciti a costruire i due portafogli replica del MIB30. Possiamo vedere graficamente le loro serie dei prezzi e confrontarle con quella dell’indice. Di conseguenza valutare l’affidabilità di tale Tracking Error anche da un punto di vista esclusivamente grafico.
PREZZI DEL PORTFOLIO1, PORTFOLIO2 E MIB30
Da un punto di vista esclusivamente visivo, ovvero dal grafico, si nota che effettivamente i due portafogli costruiti replicano in maniera fedele il Benchmark di riferimento, in modo particolare il Portafoglio denominato Portfolio1.
Apprestiamoci ad analizzare la loro rischiosità considerando come Teoria di base quella derivante dalla Moderna teoria di Portafoglio, strumento “classico “ in ambito di diversificazione , utilizzando la misura della STANDARD DEVIATION come indicatore di volatilità dei nostri portafogli e dello stesso indice.
La Standard Deviation, viene utilizzata come misura della volatilità dei rendimenti calcolata su un periodo campionario, in formulae:
Dove:
il simbolo ^ indica che si tratta di una stima, cioè che stiamo calcolando una quantità che non è direttamente osservabile e rt è l’approssimazione logaritmica dei rendimenti nel continuo, in formulae:
L’analisi ci porta a tale situazione, che può essere riassunta nella seguente tabella:
PORTFOLIO1 PORTFOLIO2
TRACKING ERROR
21,68 TRACKING ERROR
21,71
STD.DEVIATION
1,455088 STD.DEVIATION
1,418971
STD.DEVIATION MIB30
1,400786
Si può notare che i due portafogli oltre a presentare uno stesso errore di replica rispetto all’indice hanno anche una stessa misura di rischiosità sia l’uno con l’altro, sia nei confronti dello stesso Benchmark. Tale elemento può quindi essere interpretato nella seguente maniera: I nostri due portafogli risultano entrambi ottimi per porre in essere strategie di Asset Allocation passiva, inoltre in ambito di scelta sembra indifferente avvalersi sia dell’uno che dell’altro per entrare nel mercato. Effettivamente le informazioni che abbiamo ricavato fino a questo momento risultano molto importanti, ma non complete soprattutto quelle che riguardano la rischiosità dei portafogli replica costruiti. La STD. DEVIATION ci offre una misura molto statica della rischiosità dei nostri strumenti, ovvero ci dice nell’istante di tempo T (oggi) qual è il grado di rischio SISTEMATICO, non diversificabile presente nel nostro strumento. Non ci offre però la possibilità di vedere effettivamente ciò che è accaduto negli istanti di tempo passati, condizionando in parte la possibile performance che potremmo attenderci.
Vediamo, quindi, quali possono essere i benefici che potremmo trarre analizzando i due portafogli replica con l’ausilio della modellistica GARCH, sempre concentrando la nostra analisi sulla variabile rischio. Gli steps che seguiremo sono i seguenti:
Stimeremo le componenti ARCH-GARCH di ognuno dei titoli dei portafogli.
Stimeremo le componenti ARCH-GARCH complessive dei due portafogli replica.
Raffronteremo tali componenti con quelle presenti nel Benchmark.
Analizzeremo graficamente la Volatilità GARCH dei tre strumenti.
Partiamo quindi con l’analisi delle singole componenti ARCH-GARCH presenti nei titoli dei due portafogli, stimate con l’utilizzo del software E-Views 3.0.
TITOLI Comp.ARCH Comp.GARCH
AEM O.148415 0.817837
MEDIOBANCA 0.250392 0.561595
MEDIOLANUM 0.186421 0.759866
TELECOM.IT 0.223874 0.472064
PIRELLI 0.073158 0.905428
S.PAOLO-IMI 0.055110 0.895411
RAS.ASS. 0.061036 0.929418
TIM 0.062721 0.919704
Come si può benissimo notare dalla tabella sopra riportata, i titoli presentano componenti ARCH-GARCH molto interessanti per l’analisi che ci appresteremo a fare. Infatti, andando a considerare i quattro titoli che compongono il portafoglio replica denominato Portfoli1 si nota che essi, tutti e quattro, hanno una componente ARCH elevata (dalla teoria si considera elevata una componente ARCH> 0.07). Tale parametro ci indica che i titoli considerati presentano una caratteristica molto importante per valutare la rischiosità di uno strumento finanziario, ovvero la REATTIVITA’ istantanea ad eventuali shock che interessano il mercato. Nel nostro caso i rumors che possono essere considerati come fattori di disturbo sono le varie NEWS che ogni ora, ogni giorno, si attendono sul mercato. Quindi gli assets che rispondono a tale caratteristica possono risultare molto aggressivi, rispondendo in maniera diretta soprattutto a BAD-NEWS, portando il generico investitore a dover sopportare performance negative e soprattutto perdite inaspettate. Il nostro portafoglio replica, risulta quindi costruito con quattro titoli molto aggressivi. Per quanto riguarda il secondo portafoglio replica (Portfolio2) la nostra stima ci evidenzia che i titoli che lo compongono presentano una forte componente GARCH (in teoria GARCH> 0.80). Tale componente GARCH ci indica, a differenza della componente ARCH, la DIFENSIVITA’ di uno strumento finanziario determinata dalla componente della varianza calcolata con lag dei periodi precedenti. In altri termini la forte componente GARCH permette di smussare o più precisamente di “SMUTTARE” la reattività, nel nostro caso, di un asset in un lasso di tempo maggiore, non provocando istantaneamente oscillazioni derivanti da shock negativi o positivi di mercato. Il Portfolio2 da questa breve analisi sembrerebbe molto più difensivo o meglio, molto più in grado di attutire le possibili perdite derivanti dall’andamento del mercato.
Fatto ciò apprestiamoci a stimare le componenti ARCH-GARCH complessive dei due portafogli replica, sempre con l’utilizzo del software E-Views otteniamo tali risultati:
COMPONENTI ARCH-GARCH DEL PORTFOLIO1
COMPONENTI ARCH-GARCH PORTFOLIO2
Come possiamo notare dagli outputs sopra riportati, effettivamente, i due portafogli replica presentano delle componenti ARCH-GARCH differenti tra di loro. Il Portfolio1 ha una componente ARCH (ricordiamo che tale componente delinea la reattività agli shock che si presentano sul mercato dello strumento analizzato) doppia rispetto a quella stimata sul Portfolio2. Viceversa, per quanto riguarda la componente GARCH (tale componente misura la difensività dello strumento analizzato o meglio la sua capacità di reagire agli stress di mercato in maniera meno istantanea), essa risulta essere più accentuata nel Portfolio2.
Per quanto riguarda il Benchmark di riferimento, abbiamo questa situazione:
COMPONENTI ARCH-GARCH MIB30
Le componenti ARCH-GARCH stimate del MIB30 ci fanno notare che l’indice risulta essere più in sintonia con il Portfolio1, quindi da tale dato di fatto possiamo affermare che nel periodo in cui abbiamo sviluppato l’analisi l’indice presenta un grado abbastanza elevato di rischiosità o meglio di reattività. In questo modo possiamo allora affermare che i due Portafogli replica e l’indice non sembra che siano tutti e tre caratterizzati dalla stessa rischiosità (come i dati riguardanti la Standard Deviation ci facevano notare).
Approfondiamo ancora di più la nostra analisi e apprestiamoci ad analizzare graficamente la volatilità GARCH dei tre strumenti sotto esame. Partendo con la valutazione di un grafico completo.
CONFRONTO VOLATILITA’ GARCH DEI DUE PORTAFOGLI E DELL’INDICE
Il grafico sopra riportato descrive la serie della varianza GARCH dei due portafogli replica e del Benchmark per l’intero periodo di stima. Abbiamo chiamato GARCHDEFENSIVE la stima della rischiosità del Portfolio2 per le sue caratteristiche riscontrate durante l’analisi e GARCHOFFENSIVE la stima della rischiosità del Portfolio1 sempre per lo stesso motivo. Da tale studio si può notare che effettivamente i due portafogli replica e l’indice non presentano la stessa rischiosità, infatti, analizzando in maniera più attenta il grafico si nota che: la volatilità del Portfolio1 (GARCHOFFENSIVE) è sempre maggiore della volatilità sia del Portfolio2(GARCDEFENSIVE) sia del Benchmark, oltretutto quando il mercato presenta degli stress la volatilità di tale strumento provoca delle grosse oscillazioni istantanee. Confrontiamo le volatilità GARCH dei due portafogli replica:
CONFRONTO VOLATILITA’GARCH DEI DUE PORTAFOGLI
Effettivamente il Portfolio1 risulta essere molto più aggressivo, ovvero molto più rischioso del Portfolio2. Inoltre possiamo notare dal grafico ( freccia azzurra) la reazione che tale Portfolio1 ha nei periodi in cui il Benchmark analizzato si incanala in una determinata direzione. Esso amplifica direttamente i movimenti per poi riportarsi ai livelli corrispondenti dell’altro (Portfolio2). Il Portfolio2 grazie alle alte componenti GARCH insite nei titoli che lo compongono non reagisce in maniera istantanea . Tali movimenti valgono sia in caso di shock positivi che negativi ( freccia verde, freccia azzurra).
Nei confronti del Benchmark possiamo notare tali caratteristiche:
VOLATILITA’ GARCH PORTFOLIO1 MIB30
VOLATILITA’ GARCH PORTFOLIO2 MIB30
Come si nota dai grafici sopra riportati, la rischiosità del MIB30 che in precedenza era stata stimata essere equivalente a quella dei due portafogli replica (Standard Deviation), presenta invece caratteristiche differenti. Nei confronti del PORTFOLIO1 l’indice si presenta più difensivo presentando una volatilità GARCH più contenuta nei periodi critici, per il PORTFOLIO2 il discorso viene rovesciato poiché la rischiosità di questo stimata con GARCH è sempre inferiore a quella dell’indice.
Dopo aver effettuato tale analisi, per avere un riscontro pratico di ciò che abbiamo documentato, andiamo a verificare le affermazioni fatte analizzando le performance dei portafogli replica e dell’indice prendendo come periodo di verifica, quello che si riferisce alla serie storica dei prezzi di chiusura dell’indice MIB30 e dei trenta titoli che lo compongono direttamente successivo a quello utilizzato fino adesso. Periodo compreso tra il 1° Dicembre 2000 – 2 Febbraio 2001.
SERIE STORICA PREZZI MIB30 PERIODO DI VERIFICA(1/12/2000-2/2/2001)
Il periodo di verifica si adatta perfettamente alle valutazioni che dobbiamo fare, poiché è caratterizzato da un andamento a forbice con la presenza di un primo sotto-periodo nel quale si ha un trend discendente e un secondo sotto-periodo con trend ascendente.
Le nostre aspettative sulle performance che i due portafogli dovrebbero avere in termini di guadagni percentuali, senza considerare la stima GARCH della volatilità, dovrebbero essere equivalenti. Effettivamente, però, avendo visto che la loro volatilità non risulta essere del tutto simile tutto quello che abbiamo ipotizzato risulta fallace, in particolare:
INDICE PORTFOLIO1
PORTFOLIO2
PERIODO VERIFICA
-5,45% PERIODO VERIFICA
-2,96% PERIODO VERIFICA
+1,88%
I°SOTTO-PERIODO
-9,9%
I°SOTTO-PERIODO
-13,46% I°SOTTO-PERIODO
-0,5%
II°SOTTO-PERIODO
+3,1% II°SOTTO-PERIODO
+8,13% II°SOTTO-PERIODO
+1,71%
La tabella riporta:
Nella prima riga di ognuna delle tre colonne i rendimenti percentuali totali del periodo preso in esame sia dell’indice MIB30 sia dei due portafogli.
Nella seconda riga di ognuna delle tre colonne i rendimenti percentuali dell’indice MIB30 e dei due portafogli prendendo come sotto-periodo quello caratterizzato da trend discendente dei prezzi del MIB30 (osservazioni 1-21).
Nella terza riga di ognuna delle tre colonne i rendimenti percentuali del successivo sotto-periodo (osservazioni 22-42) dei prezzi del MIB30 (trend ascendente).
Dalle performance ottenute dai due portafogli replica possiamo trarre le seguenti conclusioni:
1. La rischiosità dei due portafogli replica seguendo l’approccio della moderna teoria di portafoglio non è risultata essere esatta o meglio completa.
2. I due portafogli costruiti presentano delle caratteristiche differenti che con l’analisi classica non risultano visibili.
3. L’ausilio della modellistica GARCH come supporto per l’analisi della volatilità dei portafogli replica risulta strumento fondamentale per una buona valutazione di ciò che poi determinerà la scelta di un qualsiasi strumento di investimento.
Effettivamente i risultati ottenuti sono molto significativi poiché ci danno l’opportunità di valutare in maniera completa quali sarebbero stati i possibili errori che avremmo potuto commettere se avessimo considerato i due portafogli replica strumenti equivalenti, soprattutto sotto il punto di vista della rischiosità, per porre in essere una strategia di Asset Allocation. Se avessimo scelto come strumento di investimento il PORTFOLIO1 ci saremmo potuti ritrovare in una situazione molto delicata, poiché il portafoglio essendo per costruzione molto rischioso avrebbe reagito in maniera istantanea agli stress del mercato e le perdite sarebbero state molto accentuate.
L’analisi ha evidenziato oltre la possibilità di costruire portafogli replica di un benchmark con caratteristiche opposte aggressività e/o difensività, quella di poter porre in essere strategie ARBITRAGGIO. Infatti, a seconda delle aspettative inerenti all’andamento di mercato, alle possibili bad o good news che potrebbero influenzare il nostro strumento di investimento, potremmo decidere di entrare sul mercato con uno dei due portafogli costruiti in maniera tale da:
Amplificare i guadagni scegliendo un portafoglio con caratteristiche di aggressività (alta componente ARCH) come il PORTFOLIO1. Prevedendo un periodo di andamento positivo del mercato in base alle aspettative degli analisti.
Accontentarsi di guadagni più limitati, però con la sicurezza di non subire grossi shock, scegliendo un portafoglio con titoli che presentano forte componente GARCH (PORTFOLIO2), nei periodi in cui sul mercato prevale una forte incertezza.
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